Производная любой константы равна нулю

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x 0 , причем является нечетной: y ( x ) = — y ( — x ) = — ( — x ) p . Тогда x p 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

t g ‘ x = sin x cos x ‘ = sin ‘ x · cos x — sin x · cos ‘ x cos 2 x = = cos x · cos x — sin x · ( — sin x ) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g ‘ x = cos x sin x ‘ = cos ‘ x · sin x — cos x · sin ‘ x sin 2 x = = — sin x · sin x — cos x · cos x sin 2 x = — sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = — 1 sin 2 x

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а — любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый — производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби — 8 7 .

( log a x ) ‘ = lim ∆ x → 0 log a ( x + ∆ x ) — log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

f 1 ( x ) = 1 x 2 3 = x — 2 3 ⇒ f 1 ‘ ( x ) = — 2 3 · x — 2 3 — 1 = — 2 3 · x — 5 3 f 2 ‘ ( x ) = x 2 — 1 4 = 2 — 1 4 · x 2 — 1 4 — 1 = 2 — 1 4 · x 2 — 5 4 f 3 ( x ) = 1 x log 7 12 = x — log 7 12 ⇒ f 3 ‘ ( x ) = — log 7 12 · x — log 7 12 — 1 = — log 7 12 · x — log 7 12 — log 7 7 = — log 7 12 · x — log 7 84

Рассмотренные выше варианты приведены для дифференцирования переменной величины. Константа, то есть, величина не принимающая двух различных значений, не может быть продифференцирована ни по какой переменной величине, следовательно не имеет результата дифференцирования, то есть не имеет производной.

» ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ! » Читатели, у которых серьезное восприятие содержания данной статьи вызовет запредельно невыносимое отторжение разума, по различным соображениям, воспримите нижеследующую писанину как изощренную субботнюю шутку автора, обладающего циничным чувством юмора. 😁

Само действие дифференцирования — есть отношение разницы между двумя различными значениями дифференцируемой переменной к разнице двух различных значений дифференцирующей переменной при устремлении этих двух различных значений к одному и тому же тождественному. То есть, в результате дифференцирования исчезает (становится равной нулю) разница между двумя первоначально различными значениями.

Теперь информация для размышления. Действие, обратное дифференцированию — есть действие интегрирования. Попытайтесь проинтегрировать «пустое место» и число «ноль» по дифференциалам произвольной переменной. У вас, по идее, должен получиться один и тот же результат. Напишите этот результат в комментарии к этой статье.

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)’ = (u’*v-v’*u)/v^2;

Производная — это одно из важнейших понятий не только в математике, но и во многих других областях знаний. Она характеризует скорость изменения функции в заданный момент времени. С точки зрения геометрии, производная в некоторой точке — это тангенс угла наклона касательной к этой точке. Процесс ее нахождения называется дифференцированием, а обратный — интегрированием. Зная несколько несложных правил, можно вычислять производные любых функций, что в свою очередь существенно облегчает жизнь и химикам, и физикам, и даже микробиологам.

Чтобы найти полный дифференциал функции нескольких переменных, нужно вычислить частную производную по каждой из них. Методы решения аналогичны нахождению производной функции одного аргумента за тем исключением, что в качестве одного или нескольких постоянных слагаемых или множителей выступают другие переменные.

Следовательно, функция на рисунке возрастает на интервалах и и убывает на интервале . Точка не входит в область определения функции, но по мере приближения x к 0 слагаемое неограниченно возрастает. Поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ).

1. ,
где С – постоянное число
2.
Частные случаи:


3.
Частный случай

4.
Частный случай

Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси. При этом задан закон движения точки: координата x движущейся точки – это известная функция времени . В течение интервала времени от до точка перемещается на расстояние: .
Её средняя скорость ( ) находится по формуле: . При значение средней скорости стремится к определённой величине, которая в физике называется мгновенной скоростью материальной точки в момент времени . Следовательно, для мгновенной скорости можно записать формулу 5

5) Это означает, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак. Этот же результат может быть получен разложением многочлена на множители:
. Затем надо оценить знак произведения методом интервалов.
6) Производная не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули – это корни уравнения: .
Эти корни: .
Функция имеет две критические точки и три интервала монотонности: .
Полученные результаты сведены в таблицу. В ней стрелками обозначены выводы о возрастании функции или её убывании (наклонная стрелка вверх или вниз) внутри соответствующего интервала.

Функция называется выпуклой на интервале , если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .
Функция называется вогнутой на интервале , если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой в любой точке , при этом .

1-я ошибка) Можно просто не применить нужное правило, «не заметив», что функция сложная.
В следующем примере формулы дифференцирования степенной и тригонометрической функций использованы не последовательно, а одновременно, производная неверно вычислена в одно действие.

В эпиграфе описана реальная ситуация из моей практики. Вопрос возник, когда ученик запутался в правилах дифференцирования функций, в частности, не смог определить производную произведения двух функций. Во избежание подобной трактовки этой статьи напомню, что мы занимаемся именно математикой, и здесь термин «произведение» обозначает результат операции умножения, а «производная» это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Таким образом, мы сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем используем его как аргумент для внешней.
Согласно пятому правилу дифференцирования, при определении производной нужно поступать наоборот — сначала вычислять производную внешней функции по её аргументу, а затем умножать её на производную внутренней.

Сложная функция, это функция зависящая не напрямую от заданной переменной, а от другой функции. Иными словами, её значение нельзя вычислить в одно действие. Например, функции y = sinx 2 и y = sin 2 x являются сложными. Посмотрим, как вычисляются их значения, например при х = 2.

Если в дроби числитель или знаменатель является постоянной величиной, то совершенно необязательно пользоваться правилом для производной дроби. Это действие у школьников и студентов ещё чаще сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

Производная любой константы равна нулю

Это означает, что на самом деле в любой точке отрезка значения функции будут нестрого больше. Но так как она по условию локальный максимум, то в некоторой окрестности, пересеченной с заданным отрезком, все значения функции нестрого меньше. Отсюда следует, что в некоторой окрестности, пересеченной с отрезком, все значения функции равны глобальному минимуму.

Рекомендуем прочесть:  Должностная Ипнструкция Главного Юрисконсульта В Отделе Договоров

А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах. Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

На практике очень важно уметь определять эластичность прямых линий (если научиться это делать, можно определять и эластичность кривых – достаточно только провести к кривой касательную и определить эластичность этой касательной). Чаще всего приходится иметь дело с эластичностью спроса и предложения. И здесь нас поджидает одна трудность.
После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

Но не понимаю одного, как получается, что отношение чему-то может быть равно. Что значит в данном случае, что предел прироста аргумента равен нулю? Это значит, что мы принимаем его значение равным нулю? (Выражение «бесконечно близко к нулю» я осмыслить тоже не могу).

Вычисление производной — дело нехитрое, достаточно знать несколько простых правил и формулы дифференцирования простых функций; сложнее в этом онлайн калькуляторе было сделать интерпретатор математических выражений и алгоритм упрощения полученного результата, но об этом как-нибудь в другой раз…

Понятие производной

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке.

Производная функции \(y=f(x)\) характеризует скорость изменения \(y\) относительно \(x\) . Рассмотрим функцию \(f(x)\) , область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки \(x_0\) . Тогда функция \(f(x)\) является дифференцируемой в точке \(x_0\) , и ее производная определяется формулой \(> \right) = \lim\limits_ <\Delta x \to 0>\frac<<\Delta y>><<\Delta x>> > = <\lim\limits_<\Delta x \to 0>\frac <+ \Delta x> \right) — f\left( <> \right)>><<\Delta x>>>\) .

  1. Производная постоянной равна нулю: \(C’=0\) .
  2. Производная аргумента равна единице: \(x’=1\) .
  3. Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций: \((u\pm v)’=u’\pm v’\) .
  4. Константу можно выносить за знак производной: \((c\cdot u(x))’=c\cdot u'(x), c=const\) .
  5. Производная произведения: \((u\cdot v)’=u’\cdot v+v’\cdot u\) .
  6. Производная частного: \((\frac)’=\frac\) .

Производная любой константы равна нулю

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х 2 + 6х – 3 или у = x•sinx?

Покажем аналитически, что производная функции-константы равна нулю. Рассмотрим произвольное значение , в котором, понятно, и приращение функции: . По определению производной в точке:

Заметьте, тут нет неопределённости: ноль, делённый на бесконечно малое число , равен нулю. Пытливые читатели могут взять в руки калькулятор и убедиться в этом.

Действительно, пора переходить к практическим примерам. Ну а это был, пожалуй, первый обстоятельный теоретический материал, который я опубликовал на сайте – вполне можете взять для реферата или курсовика. Только аккуратнее, здесь есть зашифрованное послание для вашего преподавателя =)

Функция-константа имеет вид , и графически – это семейство прямых, параллельных оси абсцисс. Наверное, многие уже догадались, почему .
Изобразим, например, график функции :

Это «ровная дорога», то есть функция и не возрастает и не убывает в каждой точке. Ни вверх и не вниз.

В начале статьи Уравнение прямой на плоскости я проанализировал расположение прямой в зависимости от углового коэффициента. И сейчас получено объяснение данных фактов с точки зрения математического анализа. Действительно, рассмотрим две линейные функции и найдём их производные:

О чём нам говорит найденная производная? Во-первых, для любого «икс» она отрицательна, а значит, функция убывает на всей области определения. И, во-вторых, это убывание постоянно, то есть «наклон горки везде одинаков» – в какой бы точке мы ни находились, предельное отношение будет неизменным:

Здесь и далее я предполагаю, что читатель умеет находить, как минимум, простые производные, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей. Давайте найдём производную «быстрым» способом:

Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте то согласно теореме 4.15 эта функция достигает на этом сегменте максимального значения М и своего минимального значения т. Могут представиться два случая: . В случае Поэтому производная равна нулю в любой внутренней точке сегмента . В случае поскольку можно утверждать, что хотя бы одно из двух значений М или достигается функцией в некоторой внутренней точке сегмента Но тогда функция имеет в этой точке локальный экстремум. Поскольку функция дифференцируема в точке , то по теореме Теорема полностью доказана.

Замечание. В теореме Ролля требуется, чтобы функция была непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Так как из дифференцируемости во всех внутренних точках вытекает непрерывность во всех внутренних точках, то по существу вместо непрерывности на сегменте можно было бы потребовать непрерывность в точке а справа и в точке b слева.

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Проведем небольшие преобразования. Для начала воспользуемся известным свойством неопределенных интегралов: константу можно вынести из под знака интеграла. Ноль — число, значит ноль константа, значит ноль можно вынести из под знака интеграла. В результате получим, что неопределенный интеграл от нуля равен нулю. Цепочка пребразований приведена в следующей строке: $\int 0dx=0\int dx=0\left(x+c \right)=0$ Размышляем дальше. Хорошо известно, что неопределенный интеграл, это множество всех первообразных функции под знаком интеграла. Ноль — это константа, или функция, которая для любого х равна нулю. Первообразная нулевой функции — произвольная константа. Легко проверить: производная любой константы равна нулю. В результате получаем: $\int 0dx=c=const$ Странная получается ситуация: с одной стороны интеграл равен нулю, а с другой получается, что равен константе. Ждем ваши размышления и ответы на вопросы: как правильно, где ошибка? Или ошибки нет? И так должно быть?

Что такое первообразная? Понятие первообразной

Термин «первообразная» по-обывательски означает «родоначальница», «родитель», «предок». Сразу же вспоминаем самого родного и близкого человека.) А сам поиск первообразной — это восстановление исходной функции по известной её производной. Иными словами, это действие, обратное дифференцированию. И всё! Сам же этот увлекательный процесс тоже называется вполне научно — интегрирование. Но об интегралах — позже. Терпение, друзья!)

Первообра́зная. Красивое слово.) Для начала немного русского языка. Произносится это слово именно так, а не «первоОбразная», как может показаться. Первообразная — базовое понятие всего интегрального исчисления. Любые интегралы — неопределённые, определённые (с ними вы познакомитесь уже в этом семестре), а также двойные, тройные, криволинейные, поверхностные (а это уже главные герои второго курса) — строятся на этом ключевом понятии. Имеет полный смысл освоить. Поехали.)

Именно поэтому интегрирование — гораздо более трудоёмкое и кропотливое занятие, чем дифференцирование. Но в этом есть и своя изюминка. Занятие это творческое и очень увлекательное.) И, если вы хорошо усвоите таблицу интегралов и освоите хотя бы два базовых приёма, о которых мы поговорим далее ( замена переменной и интегрирование по частям ), то интегрирование вам очень понравится. 🙂

Также производная будет равна единице и для функции x+1234, и для функции x-10, и для любой другой функции вида x+C, где С — любая константа. Ибо производная любой константы равна нулю, а от прибавления/вычитания нуля никому ни холодно ни жарко.)

Прежде чем знакомиться с понятием первообразной, давайте в самых общих чертах вспомним самую обычную производную. Не углубляясь в занудную теорию пределов, приращений аргумента и прочего, можно сказать, что нахождение производной (или дифференцирование) — это просто математическая операция над функцией. И всё. Берётся любая функция (допустим, f(x) = x 2 ) и по определённым правилам преобразовывается, превращаясь в новую функцию. И вот эта самая новая функция и называется производной.

Определение, физический и геометрический смысл производной

Например:
Найдем значение производной в точке \(x_0=1\) для функции \(y=x^2-3\).
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0)=1^2-3=-2\)
Пусть \(∆x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=((1+\triangle x)^2-3)-(-2)=\\ =1+2\triangle x+(\triangle x)^2-1=2\triangle x+(\triangle x)^2=\triangle x(2+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x(2+\triangle x)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(2+\triangle x)=2+0=2 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(1)=2\)
Ответ: 2

Пример 1. Пользуясь алгоритмом поиска значения производной в заданной точке, найдите:
a) \( f'(1),\ \text<если>\ f(x)=2x \)
По условию \(x_0=1\)
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0 )=2\cdot 1=2\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=2(1+\triangle x)-2=2+2\triangle x-2=2\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<2\triangle x><\triangle x>=2 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(1)=2\)
б) \( f'(3),\ \text<если>\ f(x)=3x^2 \)
По условию \(x_0=3\)
Значение функции в заданной точке: \(f(x_0 )=3\cdot 3^2=27\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=3(3+\triangle x)^2-27=3(9+6\triangle x+(\triangle x)^2)-27=\\ =27+18\triangle x+3(\triangle x)^2-27=3\triangle x(6+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<3\triangle x(6+\triangle x)><\triangle x>=3\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(6+\triangle x)=3(6+0)=18 \end Искомая производная в заданной точке: \(f'(3)=18\)

На входе: уравнение функции \(y=f(x)\)
Шаг 1. Задать приращение аргумента \(\triangle x\), найти выражение для приращения функции \(\triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)\).
Шаг 2. Найти предел выражения \(\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=f'(x)\)
На выходе: уравнение производной \(y\ ‘=f'(x)\) в любой точке \(x\).

Например:
Найдем производную функции \(f(x)=x^2-4\) в точке \(x_0=3\)
Значение функции в точке: \(f(x_0 )=3^2-4=5\)
Пусть \(\triangle x\) — некоторое приращение аргумента. Тогда: \begin f(x)=f(x_0+\triangle x)=(x_0+\triangle x)^2-4=(3+\triangle x)^2-4=9+6\triangle x+\triangle x^2-4=\\ =5+6\triangle x+\triangle x^2 \end Приращение функции: $ \triangle y=f(x)-f(x_0)=5+6\triangle x+\triangle x^2-5=6\triangle x+\triangle x^2=\triangle x(6+\triangle x) $ Производная: $ f'(x_0)=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x><\triangle y>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle x(6+\triangle x)><\triangle x>=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>(6+\triangle x)=6+0=6 $ Ответ: 6

Пусть на плоскости задана кривая \(y=f(x)\).
Выберем на кривой две точки \(A(x_0,y_0)\) и \(B(x,y)\). Прямая AB будет секущей для кривой \(y=f(x)\). Угол наклона прямой AB определяется угловым коэффициентом: $ k_=tg\angle A=\frac=\frac<\triangle y> <\triangle x>$ Начнем движение точки B вдоль кривой по направлению к точке A. Приращение аргумента при этом будет уменьшаться: \(\triangle x=AC\rightarrow 0\). В тот момент, когда B совпадет с A, секущая AB превратится в касательную AD. Угловой коэффициент касательной: $ k_=\lim_<\triangle x\rightarrow 0>\frac<\triangle y><\triangle x>=y'(x_0) $
Мы можем сформулировать геометрический смысл производной:

Что такое производная? Определение и смысл производной функции

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным: метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной:
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

На интервалах функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую . Двигая линейку влево к точке , уменьшаем приращение . Впрочем, и сам выполню несколько засечек:

По рисунку хорошо видно, что с уменьшением уменьшается и приращение функции (малиновые линии). При этом отрезок занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции , а наш дифференциал – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом дифференциал стремится к полному приращению функции: (соответственно отрезок будет бесконечно малым).

Что такое производная? Определение и смысл производной функции

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Давайте снова возьмём в руки линейку и приложим её ребром к монитору на прямую . Двигая линейку влево к точке , уменьшаем приращение . Впрочем, и сам выполню несколько засечек:

По рисунку хорошо видно, что с уменьшением уменьшается и приращение функции (малиновые линии). При этом отрезок занимает всё меньшую и меньшую часть приращения функции , а наш дифференциал – всю бОльшую и бОльшую его часть, именно поэтому его и называют главной частью приращения функции. Настолько главной, что при бесконечно малом дифференциал стремится к полному приращению функции: (соответственно отрезок будет бесконечно малым).

Угол наклона секущей к оси я обозначил через и отметил его коричневой дугой в двух местах. Такое внимание к данному углу не случайно – он однозначно определяется приращениями . Рассмотрим прямоугольный треугольник и угол . Согласно школьному определению, тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке , уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции тоже уменьшается: точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали (красному отрезку), и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции (синей линии).

То есть идея формулы приближенных вычислений состоит в том, чтобы точное значение функции (смотрим на ось ординат основного чертёжа) заменить суммой и отрезка . К слову, отрезок на главном чертеже существенно «не достаёт» до полного приращения , и это не случайность. В демонстрационной иллюстрации я выбрал большое значении , чтобы всё было видно. На практике же, чем приращение меньше – тем дифференциал лучше «дотянется» до полного приращения функции (см. маленький рисунок), и тем точнее сработает формула .

Почему производная постоянной равна 0

Производная любой функции показывает с какой скоростью эта функция меняется со временем, причем необязательно брать производную именно по времени, это справедливо только в случае реального движения. В математике функция может меняться или не меняться в зависимости от любых других величин, аргументов. Чаще всего аргумент в математике обозначается буквой Х. Если при изменении аргумента функция все равно остается равной одному значению, то она постоянна, она равна константе, у нее отсутствует скорость изменения или приращение. Таким образом ее производная, а в более частном случае отношение приращения функции к приращению аргумента, равно нулю.

Производная и интеграл — взаимно обратные операции. Были сложение и вычитание, потом появились умножение и деление, потом возведение в степень и извлечение корня. Дальше на этом пути производная и интеграл (пусть математики не бросаются камнями — для первого знакомства можно считать так) . .

Описать положение тела в любой момент времени — это основная задача механики (раздела физики). Знание правил вычисления производной позволяет знать скорость движущегося тела в любой момент времени. Физический смысл производной по времени — это мгновенная скорость физического процесса.

Ответ находится в определении, а оно гласит, что производной какой-либо функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении этого аргумента к нулю. Для постоянной величины приращение равно нулю. А отношение есть дробь, в которой числитель равен нулю. А нуль можно делить на любое число, но получим только нуль.

Что такое ускорение? Что значит, изменяется скорость? А это значит, что v(2)=v(1)+a*t. Если у Вас в точках А и Б ускорение будет равно нулю, то v(2)=v(1), т.е скорость не может изменяться. А что касается стоящей машины, то ведь до того как остановиться, она ехала (вернее катилась, так как выражение «машина ехала» это вообще неправильно). Перед остановкой она имела отрицательное ускорение. Теперь она стоит, а время идёт, скорость не изменяется, значит и ускорение равно нулю. а когда поедет (опять «поедет»), то прежде чем двинуться, появится ускорение. А на графике стоящей машине будет соответствовать горизонтальная прямая.

Таблица производных простых функций

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x c )’= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2 )’ = 2x
(x 3 )’ = 3x 2
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

Я знаю, что производная от константы равна нулю, но единственным доказательством, которое я могу найти, является:
что $ f (x) = ^ <0>$, $ f ‘(x) = \ lim_ \ frac $
$ f ‘(x) = \ lim_ \ frac <<(x + h)>^ <0>— ^ <0>> $
и тогда, поскольку $ <(x + h)>^ <0>— ^ <0>= 1 — 1 = 0 $, то $ f ‘(x) = \ lim_ \ frac <0> = 0 $
Тем не менее, это кажется мне неприятным, как если бы вы вставляли 0 для h в лимит, вы становитесь неопределенным. Это может быть только я, но это мне кажется не совсем правильным. Является ли это доказательство действительно прекрасным, и есть еще одно доказательство того, что производная от константы равна нулю или это единственная?

Производная постоянной величины

Рассмотренные вопросы имеют больше практическое, чем теоретическое значение. Новые теории не изучались и не доказывались теоремы. Все производные получены на основе общего правила дифференцирования. Однако полученные результаты входят в основную часть таблицы производных, которую необходимо знать.

Другими словами, дифференциал функции в точке, с геометрической точки зрения, есть приращение функции касательной в точке, тогда как приращение функции есть приращение ординаты точки графика. На рис. 1 видно, что . Очевидно, что для функции приращение касательной равно приращению функции в точке , поскольку касательная у функции совпадает с самой функцией.

Пусть векторной функции для приращения аргумента на соответствует приращение на (рис. 3). Очевидно, что вектор . При точка на кривой L переходит в точку , т. е. или – касательный вектор. С геометрической точки зрения производная векторной функции есть вектор, касательный к годографу в данной точке.

3. Найдем предел = . Из необходимого условия дифференцируемости следует, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . Тогда последний предел , откуда согласно третьему замечательному пределу имеем , или

3. Найдем предел . Из необходимого условия дифференцируемости следует, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть получаем неопределенность . Тогда последний предел = , откуда согласно пятому замечательному пределу имеем

Adblock
detector